Page 27 - 这样学高中物理更有益——力学部分

第一章 运动学

动手动脑 照亮思维

1. 推导变速直线运动位移、加速度和时间关系问题。
匀加速直线运动 v—t 图像的梯形面积与无限多个矩形面积之间，还相差无
限多个小三角形的面积，无限多个小量也许是很大的？
简要说明：将匀变速直线运动的时间 t 分成时间间隔为 Δt 的 n 等份，当 Δt

足够小时，每一份Δt内的运动看成是匀速直线运动， n份匀速直线运动的总位移为：

x = v ∆ t + v ∆ t + v ∆ t +.... + v n t ∆
0
2
1
由匀加速直线运动的速度公式可得：
v = v + a∆ t ， v = v + a∆ t = v + 2 a∆ t
2
0
1
0
1
同理可得：
v = v n− 1 + at∆= v + nat∆
n
0
an t ∆ 2 2 an t ∆ 2
将以上各式代入整理得： x = n tv∆ 0 + + ，再将 t=nΔt 代入上式可得：
2 2
1 1
x = v t + 0 2 at + 2 2 at t∆
1
其 中， at t∆ 为 n 个小三角形所对应面积的数值，由于 Δt 无限小，
2

1
2
Δt → 0，所以 at t∆ 趋于零。故 x = v t + 1 at 成立。运算结果与通过匀加速直
2 0 2
线运动 v—t 图像面积求得的位移公式是一致的。证明对匀变速直线运动的位移、
加速度与时间关系是正确的。

现象思考：通过匀变速直线运动的位移、加速度与时间关系研究，请你分析
加速度均匀变化的运动中，速度 v、加速度 a 和时间的函数关系。
说明：根据匀变速直线运动的位移、加速度与时间关系，可画出 a—
t 图线，由图线可知图线与时间轴所包围的面积为速度。可根据上述原理解

1 a
∆
2
得： v = a 0 t + t 。
2 ∆ t
2. 微积分在生活中的应用。
如图所示，花坛中出现了图案和数字，对于每一只小树就是微分单元，而整

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