Page 199 - 数学建模算法与应用

第八章 图与网络模型及方法应用

第八章 图与网络模型及方法应用

第一节 图与网络的概述

在图论中，“图”这一概念指的是特定实体及其相互间的关系。若以节点代

表这些实体，以直线或曲线连接的边来展示两实体间的特定关联，则构建出了该
“图”的几何形态。图论提供了一种数学框架，适用于描述任何含有二元关系的
离散系统，并利用图论的相关概念、原理和技巧对这类模型进行分析和解答。哥
尼斯堡七桥问题即为一例。此问题涉及的是普雷格尔河上的七座桥梁，它们连接

着河中的两个岛屿以及河岸。挑战在于能否从四片陆地中任选一处出发，每座桥
仅通行一次，最终返回起始位置。图与网络构成了运筹学的一个经典且至关重要
的部分，其研究内容广泛应用于经济管理、工业工程、交通规划、计算机科学与

信息技术、通信网络等多个领域。接下来将探讨的包括但不限于最短路径问题、
最大流量问题、最小成本流问题以及匹配问题等，这些都是图与网络理论中的基
础议题。
首篇图论文章可追溯至 1736 年的“哥尼斯堡七桥问题”。1847 年，基尔霍
夫引入了“树”的概念，旨在解决电路网络方程。随后在 1857 年，凯莱在探索烷

烃 CnH2n+2 的不同结构时，独立发现了“树”的概念。1859 年，哈密顿设计了
一款名为“环球旅行”的游戏，从图论的角度看，该游戏的目标是在一个连通图
中找到一条回路。近几十年，随着计算机技术与科学领域的迅猛进步，图论的研

究与应用得到了极大的推动，其理论与方法已被广泛应用于物理学、化学、通信
工程、建筑工程、运筹学、生物学、遗传学、心理学、经济学和社会学等多个领域。

图 8-1 哥尼斯堡七桥问题

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