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Mathematical Modeling Algorithms and Applications
数学建模算法与应用
为 dk ，则状态转移方程为
（5）
假设每个阶段启动生产的固定成本为 a，生产每单位产品所需的变动成本为
b，而每阶段存储每单位产品的费用为 c。那么，每个阶段的成本指标可定义为
该阶段的总生产成本与存储费用的总和：
（6）
指标函数 。最优值函数 是从第 k 段的状态从 xk 出发到过程终
结的最小费用，满足
式中，允许决策集合 由每阶段的最大生产能力所决定的。若设过程终结
时允许存储量为 则终端条件是
（7）
（5）~（7）构成该问题的动态规划模型。
三、资源分配问题
将一种或多种资源（如资金）分配给多个使用者或投资项目，目的是实现最
大化的收益。这类资源分配挑战既可能是需要跨多个阶段做出连续决策的过程，
也可能是静态的规划难题。无论是哪种情况，都可以通过构建动态规划模型来寻
找最优解决方案。该方法能够有效地处理涉及时间和不同决策点的复杂情景，从
而帮助决策者在有限的资源条件下作出最佳选择。下面举例说明。
例 机器能够在高、低两种负荷下生产，共有 u 台机器在高负荷下的年产量
为 g(u) ，在低负荷下的年产量为 h(u) ，高、低负荷下机器的年损耗率分别为 a 1 、
b 1 （0 < b 1 < a 1 < 1）。现假设共有 m 台机器，要安排 n 年的总负荷分配计划，即
每年初来决定多少台机器进行高、低负荷运行，能够使 n 年的总产量最大。如果
进一步假设 g(u) = αu ，h(u) = βu （α > β > 0），即高、低负荷下每台机器的
年产量分别为 α 、 β ，结果将有什么特点。
解 年度为阶段变量 k = 1，2，…， n 。状态 xk 为在第 k 年时依然初完好的
机器数，决策 u k 为在第 k 年时投入高负荷运行的台数。当 xk 或 u k 不是整数时，
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