Page 339 - 数学建模算法与应用

第十二章 混沌技术的数字图像处理方法

个定义各自强调了混沌系统不同方面的特性，为混沌现象的研究提供了不同的视
角和方法。美国数学家李天岩与约克 (J.A. Yorke) 首次提出了混沌的数学定义，

这一定义建立在 Li-Yorke 定理的基础之上。具体而言，若函数 f(X) 是在区间 [a, b]
上的连续自映射，并且存在一个 3 周期点，那么可以推断出对于任何正整数 n，
函数 f(X) 都存在 n 周期点。这一发现揭示了简单数学模型中隐藏的复杂动力学

行为，为混沌理论的发展奠定了重要基础。。
（一）Li-Yorke 混沌定义
如果区间 [a，b] 上的连续自映射 f（X）满足以下两个条件：

存在一切周期的周期点；
存在区间 [a，b] 内的不可数集合 S C [a，b]，使得

成立，则映射 f（X）具有混沌现象。

在定义 1.1 中，前两个极限表明集合 S 中的点同时表现出聚集与离散的特性，
而第三个极限则指出集合 S 不会收敛到任何一个具体的点上。这样的定义清晰地
展现了混沌系统的三大特性：即“边界限定”“非周期性”以及对“初始条件的

敏感依赖”。美国数学家 R.L. Devaney 从拓扑学视角出发，提供了另一种混沌的
定义，这种定义更加精确地捕捉到了混沌现象的核心属性。Devaney 的定义不仅
强调了上述三点，还进一步加深了我们对混沌系统内在机制的理解。

（二）Devaney 的混沌定义
设 f（X）是区间 [a，b] 上的连续自映射，映射 f（X）是混沌的，如果：
f 是初值敏感的：存在 d>0，对任意的 x ∈ [a，b] 和任意的 e>0，在 x 的 e
n
n
邻域 B 内存在 y ∈ B，存在自然数 k，使得距离满足 d（f （x），f （y））>d；
f 是拓扑传递的：对 [a，b] 上的任意两个开集 x1，x2 ∈ [a，b]，存在自然数
n
k，使得 f （x）Çx 2 =Φ 成立；

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