Page 343 - 数学建模算法与应用

第十二章 混沌技术的数字图像处理方法

则功率谱定义为 p k =a k ²+b k ²。
通过以上的功率谱分析方法可以来分析系统的动力学性质。如果功率谱在
频率 f 及其高次谐波 2¦，3¦，处有 d 函数形式的尖峰，其中尖峰的高度代表相应

频率的振动强度，则表明系统此时在做频率为 ¦ 的周期运动；如果功率谱基频为
¦ 1 ，¦ 2 ，¦ 3 ，…，¦ k 的准周期系统在 ¦ 1 ，¦ 2 ，¦ 3 ，…，¦ k 及其线性组合处有 d 函数形式
的尖峰，则表明系统发生了分岔；当功率谱显示出稍微宽泛的峰值，并伴随有宽

带噪声背景时，这通常表明系统正处于混沌状态。
（四）Lyapunov 指数法
Lyapunov 指数用于量化系统相空间中相邻轨迹的平均收敛或发散程度，是

判断系统是否表现出混沌行为的关键统计指标。当一个系统处于混沌状态时，其
相空间中存在奇异吸引子，导致该吸引子内的临近轨迹以指数形式分离。这意味
着，即使是完全相同的系统，只要初始条件略有不同，经过足够长的时间演变后，
最终状态也会出现显著差异。通常，Lyapunov 指数被用来描述系统吸引子的动

力学特性。当 Lyapunov 指数为负值时，这表明系统对初始条件的变化不敏感，
并且系统行为是稳定的。若 Lyapunov 指数为 0，则系统处于一种过渡或平衡状态。
而正的 Lyapunov 指数则指示系统对初始条件高度敏感，随着迭代次数的增加，

相邻轨迹将以指数方式迅速分开，这标志着系统已经进入了混沌状态。
通常，计算连续 n 维动力系统 Lyapunov 指数的方法涉及观察一个微小 n 维
球体在长时间内的演变过程。由于系统流的局部变形作用，这个球体会逐渐变形
为一个 n 维椭球体。第 i 个 Lyapunov 指数按椭球主轴长度 P i （t）定义为

（1）

式（1）就是系统的 Lyapunov 指数的大小。当系统的 Lyapunov 指数大于零时，
该方向对系统吸引子起到扩展的作用；而当 Lyapunov 指数小于零时，则对该方

向上的吸引子产生压缩效果。在系统表现出混沌行为的情况下，它同时具备正值
和负值的 Lyapunov 指数，这导致了拉伸与折叠的交互作用，从而在相空间中形
成所谓的奇异吸引子。因此，吸引子所对应的正值 Lyapunov 指数越大，表明系

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