Page 342 - 数学建模算法与应用

Mathematical Modeling Algorithms and Applications
数学建模算法与应用

闭合的轨迹，而混沌运动则体现为在特定区域内随机分布、永不闭合的路径，即
所谓的奇异吸引子。此外，该方法还能用于确定分叉点及通用常数。

（二）相空间重构法
在相空间中分析系统轨迹是一种非常直观的方法。尽管通常我们只能获得单
个变量的时间序列数据，但实际上，为了构建相平面或相空间，需要至少两个或
更多变量的时间序列。不过，由于单个变量的时间序列实际上反映了整个系统的

动态行为，它内部包含了系统的运动特征。因此，我们可以利用这个单一变量的
时间序列来重建系统的相空间。假设已经获得的单一时间序列为{ x（k），k=1，2， …，

n}，重构相空间一般采用如下方法。首先选择一个嵌人维数即重构相空间，维数
满足 m≥2n+1，其中 n 为此相空间的实际维数。然后，选取一个相空间重构的间
距t，满足t为单一时间序列采样周期的整数倍。最后，取x（k），x（k+T），x（k+T），…，
x（k+（m-1）t 为坐标轴，画出系统的重构后的相空间的轨迹。通过这种方式重

构的系统相空间中的轨迹同样能够揭示原始系统的基本动力学特性。具体而言，
若重构相空间中的轨迹表现为一个固定点，这指示了原始系统处于稳定状态；当
轨迹呈现为有限数量的点时，意味着原系统正在进行周期性活动；而如果轨迹显

示出离散的结构或特定分布的离散点，则表明原系统表现出混沌行为。
（三）功率谱分析法
功率谱分析是探索混沌现象的关键方法之一。功率谱表示的是单位频率区

间内的能量分布，能够揭示出能量如何随频率变化而分布。假定已经获得了按
等时间间隔△的时间序列 x（k）（k=1，2，"，M），对这个序列加上周期边界
N=N，然后计算自关联函数

再对 c j 作离散傅立叶变换，计算其傅立叶系数

p k 表示第 k 个频率成分对信号 x 的贡献程度，这正是功率谱的核心含义。在
实际应用中，可以通过对时间序列应用快速傅里叶变换（FFT）公式来直接计算。

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