Page 340 - 数学建模算法与应用

Mathematical Modeling Algorithms and Applications
数学建模算法与应用

f 的周期点集在 [a，b] 中是稠密的。
拓扑传递性指的是在混沌系统中，随着时间的推移，一个相空间区域最终
会与其他相空间区域发生重叠，这体现了混沌系统的动态演变特性。周期点的稠

密性则显示了相空间内任何位置的点都会逐渐接近某个周期轨道，这表明即使在
看似无序的混沌系统中也存在一定的规律性和确定性。初始条件的敏感性意味
着，对于任意一个点 x 及其邻近的点，经过有限次数的迭代之后，这两个点的轨
迹可能会出现显著的分离，这是混沌现象中最核心的特性之一。通过这些特性，

我们可以更好地理解混沌系统的行为模式及其复杂性。除了 Li-Yorke 混沌定义
和 Devaney 混沌定义之外，另一个广泛认可的混沌定义是由拓扑学家史蒂芬·斯
梅尔（S. Smale）提出的。斯梅尔的定义强调，当一个映射存在横截同宿点时，

即存在某一点，其稳定流形和不稳定流形以横截方式相交，那么这个映射就具备
了混沌的特性。这一定义从动力学系统的角度出发，揭示了混沌行为产生的几何
机制。
混沌是指在确定性非线性动力学系统中观察到的一种复杂的运动形式，它表
现为对初始条件极度敏感的非周期且有界的动态行为。这种运动虽然出现在确定

性的系统内，却呈现出类似随机过程的特点。混沌的核心特征可以概括为几个主
要方面：
1. 初值敏感性

在混沌系统中，即使是初始值上极其细微的差异，也会引起轨道上的显著偏
离，这种现象使得混沌系统的长远行为难以预测。
2. 正的 Lyapunov 指数
Lyapunov 指数用于衡量混沌系统中轨迹按照指数速率分散或收敛的平均速
率，它能定量反映轨迹的稳定程度。如果 Lyapunov 指数小于零，表明轨迹之

间的距离会以指数形式减小，系统表现出周期性行为或趋向于某个固定点；若
Lyapunov 指数为零，则意味着轨迹间的距离保持恒定，此时迭代生成的点通常
与倍周期分岔相关联；而当 Lyapunov 指数大于零时，轨迹将以指数方式快速分离，

指示系统进入了混沌状态。
3. 有界性
混沌运动尽管看起来无序且不稳定，但其实总是在一个特定的区域——即所
谓的奇怪吸引子周围发生。这个奇怪吸引子构成了混沌系统的边界，确保了即便

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