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当代控制理论及应用技术概论
Introduction to Contemporary Control Theory and Applied Technology

缩态 . 相对来说对此状态的调控研究要简单点， 这也是人们最早开始研究基于李
雅普诺夫的方法进行控制器设计的情况 . 不过，第 3 节中有关基于李雅普诺夫方
法的缺点在对本征态的制备与调控中表现得十分突出。
1. 李雅普诺夫函数为状态距离情况

此时采用波函数的 |ψi 的薛定谔方程为被控系统模型： ， 李雅
普诺夫函数为式（3）：V1 = ，其物理意义为： 表示系统
状态 到目标态 的转移概率，一般称之为状态距离， 因为当 完全被驱动到

时， 即 = ， 有 成立， 且 ，所以满足 V1 > 0，
即 V1 是个单调递减函数。
在选择状态距离为李雅普诺夫函数的情况下， 所能够解决的问题为状态转移。
利用式（3）进行量子状态转移调控的适用范围是：仅限于初始态与目标态
均为本征态的情况。这主要是因为在对本征态的制备与调控中进行控制器设计时，

利用了系统的另外一个关系恒等式， 那就是本征方程式： 。即使
这样， 所设计出的控制律也还存在如下问题： （1）不是所有的本征态之间都能
进行状态转移调控， 存在不可控的本征态 . 可能出现的情况是：系统在控制律的
作用下稳定到一个平衡态， 但此平衡态不是期望的目标态。（2）当初始态与目

标态相互正交时， 导致初始控制量为零而无法进行调控。
对上述两个问题常用的解决方案有两种： 通过增加一个附加控制量 ωI。这
种做法相当于给被控系统状态增加了一个全局相位， 且定义当控制量的幅值为
零时， 其相位为零。在量子系统中， 全局相位不影响的系统状态的观测效果，
所以在被控系统中附加控制量 ωI 不会影响对原系统的控制结果。对第（2）个

问题的另一种解决方案为： 对初始控制量增加一个微量扰动量来使 u（0）≠ 0.
当采用第 1 种改进方案时， 被控系统方程（2）变为

通过对所选取的李雅普诺夫函数 V1=（1- ）对时间求一阶导数，
可得

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