Page 71 - 浙江专升本考前六套卷——高等数学

升本老姜

x 2
2x 1 x  2 4
f  (x )  2 1 x  3x  4x ，令  f (x )  0 ，得出驻点为 x , 0 x  ，于是
1 x 3 3
1 ( 2  ) x 2

4
x  1  0 , 0  0，   4  4    
 ，
 3  3  3 

y + 0  0 

y
增 极大值 减 极小值 增

 4   4   4  16


可得函数在 1  0 , ，  ，   区间内单调递增，在 0， 区间单调递减，极小值为  f   ，
 3   3   3  3 21
极大值为   00 f ．

四、综合题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）

5
24．【答案】（1） a 3 16 ；（2） a
2

a 2
【解析】（1）由题意可知： x 2 dx  a  x 2 dx ,解出 a 3 16 ；
 0
a 2 5
（2）由题意可知： x 4 dx  2 a  x x  2 dx ,解出 a ．
 0 2
4
2
25．【答案】 y 
x
y
【解析】设切点为 ( yx , ) ，则切线方程为：Y  y  y (X  ) x ，令Y  0 ，得到横轴截距为 x  ，
y
y dy dx c 4
由题可知 x   x 3 ，整理得 2   ，两边同时积分可得 y  ，将 ,1( ) 2 代入可得曲线 y  ．
2
2
y y x x x
26．【 证 明 】 由 于 f (x ) 是 [ ] 1 , 1 上 的 奇 函 数 ， 故 f  (x ) 也 是 [ ] 1 , 1 上 的 奇 函 数 ， 所 以 有

f (x )
) 0 ( f  ) 0 (   f  0 ， f ( ) 1   2 ，又 lim  1 可知 f ) 0 (   1 ，于是 f (x ) 的二阶 麦克劳林 公式为
x  0 tan x
f ) 0 (   f  ( ) f  ( )
3
f (x )  ) 0 ( f  f  ) 0 ( x  x  x  x  x ，  , 0 ( ) x
3
2
2 6 6
f (     ) f (     )
所以有 ( f ) 1 1 1  2 ，  ) 1 , 0 ( ， (f ) 1   1 2   2 ，  ( ) 0 , 1
6 1 6 2
f (     ) f (     )
联立得 (  ff ) 1 ( ) 1  2  1  2  4 ，得  f (   1 )  f (     2 )  12 ，又因 f  (x ) 在[ ] 1 , 1 上连续，故
6 6
f  ( )  f  ( )
有最大值 M 与最小值 m，使得 m  1 2  M ，由介值定理可知，存在一点  ( , )  ( ) 1 , 1 ，
2 1 2
f (     )  f (     )
使得  f (   )  1 2  6 .
2

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