Page 345 - 数学建模算法与应用
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第十二章 混沌技术的数字图像处理方法
在于追踪系统中两条或多条轨道的演化模式，以此来推导出 Lyapunov 指数。该
方法的基本思路是通过分析这些轨道随时间的分离或趋近情况，来量化系统的敏
感依赖于初始条件的程度。这种分析有助于理解复杂动态系统的长期行为，特别
是对于那些表现出混沌特征的系统而言尤为重要。通过这种方式，Wolf 方法提
供了一种有效的手段来评估系统的稳定性和预测性。：
设混沌时间序列为 {x 1 ，x 2 ，…，x k ，…}，嵌入维数为 m，延迟时间 t 后重
构的相空间为 Y（t i ）=（x（t i ），x（t i +T），，x（t i +（m-1）t）），i=1，2，…，
N。取重构相空间的初始点 Y（t 0 ），设其最近邻点为 Y 0 （t 0 ），两点之间的距离
为 L 0 。。追踪这两点的时间演化，直到它们之间的距离超过某个正的规定值 e 时，
将这一刻时间记为 t 1 ，即：L'（t 1 ）= ｜ Y（t 1 ）-Y 1 t 1 >，保留 Y（t 1 ）的值。接着
在 Y（t 1 ）附近寻找个满足 L（t 1 ）=|Y（t 1 ）-Y（t 1 ）|<e 的点 Y 1 （t 1 ），并且使两
者之间的夹角尽可能地小。继续重复上述追踪的过程，直到 Y（t）到达时间序
列的终点。这时追踪演化过程总的迭代次数为 M，则最大 Lyapunov 指数为：
(2)
图 12-1 描绘了用 Wolf 方法计算最大 Lyapunov 指数的整个过程
图 12-1 1Wolf 法求最大 Lyapunov 指数示意图
如果要计算次大的 Lyapunov 指数，则要追踪一个点以及邻近两个点构成的
三角形的时间演化。如果这个三角形变得太偏斜或者其面积 A'（t 1 ）变得太大，
需要重新选取一个两边与原三角形两条边夹角最小的三角形 A（t 1 ）。重复上述
追踪过程，直到终点，则次大的 Lyapunov 指数 l 2 ，满足：
(3)
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