Page 198 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

式中控制参数μ满足 0＜μ≤4，而粗略地说，相空间内 xn 所允许的值是 0≤xn≤1，映射可以
随意迭代许多次。通过对这一非线性迭代方程进行迭代计算，发现这个非线性映射的行为极

大地依赖于控制参数μ。当 0＜μ＜1 时， xn 的值无论其初值是什么，当 n 趋于无穷大时都
减小到零，即
lim x  x   0 （10.59）
n   n
x*代表一个固定点或吸引子。当 1＜μ＜3 时，有
1
lim x  x      1 （10.60）
n   n 

即控制参数μ从 1 移动到 3 时，固定点 x*从 0 移动到 2/3。
在μ＝3 处会突然发生分岔，迭代计算的结果不是趋向单独一个固定点（吸引子），而
是在两个值之间振荡，形成一个周期为 2 的吸引极限环。随后，在不同的μ值处相继出现周
期为 4、8、16、32、64…等倍周期分岔，即
3.000≤μ＜3.449， 2 周期循环
3.449＜μ＜3.544， 4 周期循环
3.544＜μ＜3.564， 8 周期循环

3.564＜μ＜3.568， 16 周期循环
… … … … … …
第一个倍周期分岔点μ1＝3，第二个分岔点μ2＝3.499，……，分岔过程一直延续到通过 2 n
的所有值，最终周期趋于无穷大。当μ＝μc≈3.57 或μ＞μc 时，迭代得到的值随机出现，逻辑
斯蒂映射过渡到混沌。见图 10-2a。

x

混
沌

区

μ
1 3 3.449 3.57 4

a b
图 10-2 倍周期分岔和混沌

倍周期分岔序列与李雅普诺夫（Lyapunov）指数λ密切关联，λ的值可由公式
1 n 1 df x , 
  lim  ln n （10.61）
n  n n 0 dx
计算。通过李雅普诺夫指数λ可以了解迭代映射对初值的敏感性。当λ为负值时，迭代是收敛
的，可出现有规律的倍周期分岔；当λ为正值时，迭代表现出对初值的敏感依赖性，相邻的

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