Page 199 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

初始点随着映射的迭代呈指数式地分开（其速率由λ确定）。如图 10-2b 所示，在μ＝μc 后，
指数λ便转为正值，映射过渡到混沌区，表现为不规则的和随机的运动。但在混沌区的各个

窗口中指数值λ又转为负值，即这里仍是规则运动。由此展现一幅规则—随机—规则—随机…
交织起来的丰富多彩的图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次的运动形态。
美国数学物理学家费根鲍姆分析了倍周期分岔的发生方式，他观察到发生分岔的参数值
μ是几何上收敛的，他利用
  
  n n1 （10.62）
n
 n1   n
定义的δn，发现
lim    . 4 6692016091 029902  （10.63）
n   n
δ称为费根鲍姆常数。进一步研究发现，对于所有在[0，1]区间内的单峰光滑映射，如正弦
映射、圆与椭圆映射等，都可计算得到同样的常数。而且许多包含耗散的非线性系统，只要
发生倍周期分岔也会有同样的常数。说明费根鲍姆常数反映了非线性系统沿倍周期分岔通向
混沌过程所具有的某种普适特性。
贝纳德(E.Benard)对流被认为是包含耗散的非线性现象，有倍周期分岔发生。1900 年，

法国学者贝纳德在做实验时发现，如果在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加
热，开始液体没有任何宏观的运动，当上下温差达到某一临界点时，液体中突然出现规则的
多边形对流图案，温差进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。1916
年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释，认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动，
对流的发生与一个无量纲参数 R 有关，R 称为瑞利数。从分岔观点看，平板间液体随着温差
升高出现的从静止到对流也是一种分岔现象，随着温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到
新的稳定态的分岔过程。

1980 年，利布沙伯（Libchaber）用液氦重做了贝纳德对流实验。他的实验装置是一个
很小的不锈钢液氦容器，用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌
入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度。容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分
之一的温差出现对流，对流引起温度变化，从温度计输出信号变化中分析出对流产生过程与
变化规律。数据分析显示，开始时功率谱中只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对
流圈翻动（图 10-3a）。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波（图
10-3b），接着又出现 f/4、f/8…等次谐波（见图 10-3c）。

图 10-3 液氦的贝纳德对流实验功率谱

实验结果显然是倍周期分岔现象，并且计算费根鲍姆常数的数值与（10.63）式基本相

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