Page 364 - 数学建模算法与应用

Mathematical Modeling Algorithms and Applications
数学建模算法与应用

定理 如果对于动力学方程（21）存在一个正定的 Lyapunov 函数 V（x），
其全导数（x）是正定的，即对于 D 中所有点都有（x）>0，则方程的定点是不

稳定的。
Lyapunov 函数方法因其广泛的适用性而被普遍采用，它不仅能够应用于线
性定常系统，同样也能处理非线性定常系统。然而，目前尚缺乏一种普遍适用的

Lyapunov 函数构造方法。对于稳定系统而言，理论上存在多种 Lyapunov 函数可
供选择。在实际操作过程中，通常依据系统结构的特点及实践经验来进行选择。
特别是在较为简单的同步场景下，往往倾向于采用二次型形式作为 Lyapunov 函

数。这种选择既简化了分析过程，又保持了足够的准确性。

二、分数阶混沌系统

分数阶系统稳定性理论对于实现分数阶混沌同步控制至关重要。关于线性分

数阶系统的稳定性评估，国内外的研究者们已开展了深入探讨，并取得了一系列
稳定性准则。这些成果为理解和操控分数阶系统提供了坚实的理论基础。
（一）对称分数阶系统稳定性

1996 年，D.Matignon 给出了一个线性分数阶系统稳定的充要条件。考虑线
性分数阶系统

(22)
其中，阶次 0<g≤1，x ∈ R”为系统的状态变量，A ∈ R n×n 为系数矩阵。
定理 1.7 如果系数矩阵 A 的任意特征值入满足 |arg（A）|>qπ/2，则系统（22）

是渐近稳定的；如果系数矩阵 A 的任意特征值入满足 |arg（l）|≥qπ/2|，则系统（22）
是稳定的。
分数阶系统的稳定性与系数矩阵特征值的关系可以通过图 1.3 表示。很明显，

若阶次为 0<q≤1 时，无论状态向量为何值，只要系统的系数矩阵的全部特征值实
部 都不大于 0，则分数阶线性系统渐近稳定。
对于非线性分数阶系统
q
D x=A（x）x （23）
如果系统平衡点的 Jacobian 矩阵的所有特征值都在稳定区域内，即所有特征
π
值入都满足 |arg（l）|>q /2，若一个平衡点被视为系统中的稳定平衡点，则表明

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