Page 363 - 数学建模算法与应用
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第十二章 混沌技术的数字图像处理方法
式中，Df X 表示函数 f 对向量 X 的偏导数。忽略二阶以上的高阶无穷小项，
公式（20）可转化为 é=Df x ·e，当误差系统能够保持稳定且收敛时，驱动系统与
响应系统之间的同步便可以实现。对于线性时变系统的稳定性分析而言，通常较
为棘手，一种常用的方法是利用数值计算技术，通过求解 Lyapunov 指数来评估
误差系统的稳定性。在此过程中所获得的 Lyapunov 指数被称为条件 Lyapunov 指
数（conditional lyapunov exponent, CLE）。如果计算出的 CLE 值为负数，这表
明任何初始的微小偏差都将呈指数衰减趋势减少，从而使得两个系统能够成功同
步。相反，若 CLE 值为正，则意味着误差系统处于不稳定状态，同步将无法达成。
尽管通过计算 CLE 来判断系统稳定性的方法直观有效，但其计算过程相对复杂，
且可能因计算机的数值精度限制而导致结果出现偏差。
② Lyapunov 函数法
正定的 Lyapunov 函数。设 V（x）为相空间坐标原点的邻域 D 中的连续函数，
且 V（x）是正定的，即除了 V（0)=0 外，对 D 中所有其他的点均有 V（x）>0。
这样的函数称为正定的 Lyapunov 函数。考虑定常微分动力系统方程
(21)
此时，f（O）=0，且 f（x）在邻域 D 内具有连续偏导数。Lyapunov 函数方
法的核心在于构建一个正定的 Lyapunov 函数，通过分析该函数的正定特性及其
沿着相关常微分方程组轨迹的方向导数属性，来评估原方程零解的稳定性。这种
方法巧妙地结合了数学理论与实际应用，为系统稳定性分析提供了强有力的工具。
V（x）沿方程（21）的解 x（t）的全导数为
下面给出基于 Lyapunov 函数的稳定性理论。
定理 如果对于动力学方程（21）存在一个正定的 Lyapunov 函数 V（x），
其全导数（x）是负半定的，即对于 D 中所有点都有（x）≤0，则方程的定点是
稳定的。
定理 如果对于动力学方程（21）存在一个正定的 Lyapunov 函数 V（x），
其全导数（x）是负定的，即对于 D 中所有点都有（x）<0，则方程的定点是渐
近稳定的。
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