Page 365 - 数学建模算法与应用

第十二章 混沌技术的数字图像处理方法

该系统具备渐近稳定性，这一特性构成了评估分数阶系统稳定性的核心标准。然
而，由于矩阵 A(x) 通常包含状态变量，直接求解其特征值较为困难，这使得通
过特征值来确定系统的稳定性变得复杂。近年来，基于定理 1.7，胡建兵等人提

出了两个简化了的分数阶混沌系统稳定性判别准则。这些准则指出，对于阶数满
足 0<q≤1 的分数阶系统，如果在整个状态变量的变化区间内，系统系数矩阵的所
有特征值的实部均不大于 0，则可判定该系统稳定。

图 12-3 分数阶系统的稳定区域

矩阵满足 Lyapunov 方程，即存在实对称正定矩阵 P 和半正定矩阵 Q，使得

方程 A（x）P+P（A（x））=-Q 对于任意的状态变量 x 恒成立，则分数阶系统（23）
渐近稳定。
定理 1.8 表明，若系数矩阵符合 Lyapunov 方程的要求，分数阶系统便能够
保持稳定。因此，在探讨分数阶混沌系统的同步控制策略时，若能通过精心设计
的控制器让两个分数阶混沌系统的误差系统之系数矩阵达到上述特定条件，即可

确保同步误差逐渐趋于稳定，从而实现两系统的同步。
定理 1.9 对于分数阶系统（23），当阶次满足 0<q≤1 时，如果存在实对称正
T
q
定矩阵 P，使得对于任意的状态变量 x，方程 H=x PD x≤0 恒成立，则分数阶系
统（23）渐近稳定。从定理 1.9 可以看出，判定分数阶系统稳定的方程 H 非常类
似于整数阶系统的 Lyapunov 函数，因此，构造方程 H 时可以参考 Lyapunov 函
数构造的方法。

355