Page 56 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

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函数 e 描述在单位圆上的转动。粒子的自旋是粒子波包在三维空间的转动，而上式描写的
是二维平面上的转动，由此可见，复数的虚部并不能完全描写粒子的时间运动。描写粒子的
自旋可能需要采用超复数，例如四元数、双四元数、八元数等。
超复数是对复数的推广。四元数的虚部有 3 个分量，其代数表达为
q  a  ib  jc  kd
（3.48）

q 代表四元数。式中 i、j、k 是三个单位虚数，它们满足以下关系
ij  k, jk  i, ki  j, ij   ji, jk   kj, ki   ik
（3.49）

i 2  j 2  k 2  ijk   1
（3.50）

四元数也可表示为 2×2 矩阵
 a  ib c  id 
q   
  c  id a ib  （3.51）

四元数的矩阵表示可以理解为四元数张成了一个四维线性空间，4 个基矢量分别为
1  0 0  i  0  1 i 0 
1    , 1    , 2    , 3   
 0 1   i 0   1 0   0 i  （3.52）

其中由σ1、σ2 和σ3 表示的矢量可以用来描述电子的自旋。这三个矩阵与泡利矩阵
0  1 0   i 1 0 
 x    , y    , z   
 1 0   i 0   0 1  （3.53）

之间只相差一个虚数因子‒i。泡利矩阵是针对原子物理中遇到的二值问题而由奥地利物理学
家泡利构造的，由泡利矩阵可以构造粒子（费米子）的自旋算符
 0  1  0   i  1 0 
ˆ s    ˆ ,s    ˆ ,s   
x 2  1 0  y 2 i 0  z 2  0 1  （3.54）


这些算符可以描写粒子波包在三维空间的自旋。
四元数最突出的特点就是乘法不满足交换律，即
q 1 q  q 2 q 1 （3.55）
2

这是由（3.49）和（3.50）式所规定的，因为
ij  ji, jk  kj, ki  ik （3.56）

这与角动量的乘法规则是一致的，因为角动量的乘法也不满足交换律，即
L 1 L  L 2 L 1 （3.57）
2
L1 和 L2 代表自旋角动量。这表明四元数的性质与空间转动的性质是相似的，可以用四元数
来描写三维空间的转动和平动。粒子的空间运动（平动）可由四元数的实部描写，粒子的时
间运动（自旋）可由四元数的虚部描写，乘法交换律的破坏可能是由粒子的时间运动的物理
性质决定的，因为粒子的时间运动是不可逆的。这种不可逆性在八元数中似乎表现得更为彻
底，因为八元数的乘法既不满足交换律，也不满足结合律，那么这是否意味着八元数更适合
描写物质的时间运动呢？目前还不太清楚，这里也不作过多的探讨。

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