Page 30 - 数学建模算法与应用

Mathematical Modeling Algorithms and Applications
数学建模算法与应用

构建数学模型后，需对其进行统计验证，以确保模型的稳健性，并甄别出对
目标变量有显著效应的因素。

运用已确认的数学模型，基于一个或多个自变量的观测值来预估或调控因变
量的表现，并对其预测或控制效能进行评价。
在实际操作中，依据变量数目、性质及彼此间的互动模式，回归分析可细分

为若干类别，例如简单线性回归、多变量线性回归、非线性回归、曲线拟合、时
间序列预测、含有哑变量的回归分析以及逻辑回归等。

二、回归分析

回归分析的关键目标之一是确立回归函数 f(x)。若该函数表现为一元线性形
式，则该过程被称作一元线性回归。若回归函数为多元线性形式，则称为多元线
性回归。若回归函数呈现非线性特征，则相应的分析被称为非线性回归。

（一）一元线性回归
设 y=β +β x+ε，取定一组不完全相同的值 x ，x ，…，x ，做独立实验得到 n
0
1
1
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n
对观察结果 (x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )，其中，y 是 x=x 处对随机变量 y 观
i
2
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2
n
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n
察的结果。
将数据点 (x ，y )(i=1，2，…，n) 代入公式 y=β +β x+ε，可以得到 y =β +β x i +
i
i
1
i
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0
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ε (i=1，2，…，n)。
i
回归分析的首要任务是通过观察结果来确定回归系数 β 、β 的估计 β 、β ，
0
1
1
0
一般情况下用最小二乘法确定回归直线方程 y=β +β x 中的未知参数，使回归直
1
0
线与所有数据点都比较接近。即要使残差和 最小。其中，
y =β + β x 。
i
0
1 i
在某些非线性回归方程中，为了确定其中的未知参数，往往可以通过变量代
换，把非线性回归化为线性回归，然后用线性回归的方法确定这些参数。
例 表格 1-2 展示了美国二手轿车价格的调查数据，其中 x 代表车辆的使用年
限，y 代表对应年限的轿车平均售价。基于这些数据，我们的目标是构建一个数
学模型，以探究二手轿车平均售价与使用年限之间的关系，并计算出 y 关于 x 的
回归方程。
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