Page 346 - 数学建模算法与应用

Mathematical Modeling Algorithms and Applications
数学建模算法与应用

用此方法计算次大 Lyapunov 指数的示意图如图 12-2 所示。同理，用此方法
可以求得其他的 Lyapunov 指数。

图 12-2 Wolf 法求次大 Lyapunov 指数示意图

理论上，如果处理的是一个没有噪声干扰且具有无限长度的时间序列，Wolf
方法能够准确计算出系统的所有 Lyapunov 指数。然而，在实际应用场景中，由

于存在噪声以及时间序列长度的限制，这种方法主要被用来较为准确地估算最大
的 Lyapunov 指数。这是因为噪声和数据量的不足会对较小的 Lyapunov 指数的计
算造成较大影响，而对最大 Lyapunov 指数的影响相对较小。因此，在实践中，

Wolf 方法最常用于评估系统的最大 Lyapunov 指数，以判断系统的稳定性或混沌
特性。
（二）Jacobian 方法

为了进一步辨别混沌与随机过程，求解 Lyapunov 指数值是关键。运用
Jacobian 方法求 Lyapunov 指数值是一种在实际应用中发展起来的方法，其基本
思想为：

设混沌时间序列为 {s 1 ，s 1 ，…，s k ，…}，嵌入维数为 m，延迟时间 t 后重构
的相空间为 x（t i ）=（s（t i ），s（t i +t），…，s（t i +（m-1）t)，i=（1，2，…N），
其中离散时间间隔为 Δt。假设 t（t=kΔt，k ∈ 1，2，…，N-1}）时刻时，点 x

（t）处的单位切向量为 e，经过时间 Δt 后，切向量演变为 e’。在很短的时间内，
切向量的演变过程是接近线性的，因此可以用轨道上的点 x（t）处的其他切向量
的演变值的线性组合来近似代替 e 的演变值 e’。考虑空间中点 x（t）到轨道上

其他点所形成的小向量 x i ，构成的矩阵 X=（x1，x2，…，xn），x=x（l i Δt）-x（t），
其中要求小向量 x 充分小，即 |x（l i Δt)-x（t)1<e，l i ∈ 1，2，…，N} 。
n
选取一个特定的线性组合 y，使其满足条件 Xy≈e，y ∈ R 。显然，线性组

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