Page 347 - 数学建模算法与应用

第十二章 混沌技术的数字图像处理方法

n
合 y 经过时间 Δt 后，使得式子 X’y≈e’，y ∈ R 成立。其中，X' 是由 X 中的
切向量演变而成的向量组。如果前面所述的演变过程具有很好的线性特征，则有
+
T
T
＋
Xy≈e 和 X’y= e’，其中 y=X e，X =（X X） － 1 X 。 最后根据 Lyapunov 指数
的计算公式得到
（4）

第二节 混沌同步的研究

由于混沌具有对初值的极端敏感性和长期不可预测性等特征，人们一直认为
混沌系统是无法实现同步的。直到 1990 年，美国海军实验室的专家 T.L.Pecora
和 L.M.Carroll 首次提出了驱动一响应同步的混沌同步方法，并在电路上观察到

了混沌同步的现象，这一开创性的工作推动了混沌同步方法及其应用研究的蓬勃
发展。由于混沌同步在保密通信、信息科学、化学与生命科学等众多领域中存在

潜在的应用价值，使得混沌同步研究发展迅猛，混沌同步成为近年来非线性科学
中的一个研究热点。
通常而言，混沌同步指的是在耦合效应或外部力量的作用下，两个或多个混

沌系统实现一致行为的现象。近几十年，科研人员探索了多种同步模式，如完全
同步、反向同步、相位同步、广义同步、延迟同步和投影同步等。混沌系统可通
过一系列微分方程来建模，其中，利用整数阶微分方程描述的系统被称为整数阶

混沌系统，而采用分数阶微分方程表达的则称为分数阶混沌系统。当前，关于整
数阶混沌系统间同步机制的研究已取得深入进展，这些成果已被应用于安全通信、
图像加密等多个领域。相比之下，由于分数阶微分理论的基础相对不成熟，关于

分数阶混沌系统的同步研究还处于初级阶段，存在许多未解的理论难题和亟待开
发的实际应用潜力。随着研究的不断推进，这一领域的未来发展前景广阔。

一、混沌同步的分类

本节首先给出混沌同步的统一数学定义。
定义 1.3 混沌同步。考虑如下两个非线性动力学系统

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