Page 371 - 如何通向中国特色社会主义政治经济学

附录 注释及参考文献 ｜ 357

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空间 R 中之开集 --- 亦即存在从 U γ 到欧式空间 R 的“嵌入”f γ （参看注
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31），使得 f γ (U γ )是R 中之开子集 V γ ；进一步地，如果 U γ1 与U γ2 之交
集非空，则我们有如下从 f γ1 (U γ1 ∩U γ2 )到f γ2 (U γ1 ∩U γ2 ) 之映射 g γ1γ2 =f γ
2 f -1 γ1 --- 我们在此要求所有这些映射 g γ1γ2 均为 R 中之开集 f γ1 (U γ1 ∩U γ2 )
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与 f γ 2 (U γ 1 ∩ U γ 2 ) 间的“同胚”映射，亦即 g γ 1 γ 2 是从 f γ 1 (U γ 1 ∩ U γ 2 ) 到 f γ
2 (U γ1 ∩U γ2 ) 的一一映射（参看注 31），且 g γ1γ2 及其逆映射 g -1 γ1γ2 = g γ2
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γ1 之在 R 之自然且标准的欧式拓扑下 --- 特别地，在 f γ1 (U γ1 ∩U γ2 ) 与f γ
2 (U γ1 ∩U γ2 ) 之作为 R 中之开集之在 R 中之自然且标准的诱导之欧式拓扑下，
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均为连续映射（如注 31 已经有所论及的，一个从拓扑空间 X 到拓扑空间 Y
的映射 f 是“连续”的，当且仅当对于任一 Y 中之开集 U，其在 X 中之原象 f (U)
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亦为开集）。特别地，直观地看，一个拓扑流形即为将一些局部之欧式空间“沾
和”后所形成之整体之拓扑空间，而此时所有的开集 U γ 即为拓扑流形 X 的“坐

标片”，同时此时的 n 即为此拓扑流形之“维数”。
34，参考文献：M.Spivak “Calculus on Manifolds: A Modem Approach

to Classical Theorems of Advanced Calculus”
继上一条注释，一个拓扑流形 X 是“光滑”的，当且仅当存在一个上一

条注释中的由其“坐标片”所构成之“开覆盖”{U γ | γ∈ F}，使得所有可能
之映射 g γ1γ2 及g -1 γ1γ2 = g γ2γ1 均为无限次可微或“光滑”之映射，有时我
们也称此种“光滑”之拓扑流形为“微分流形”。

35，对于“连通分支”之定义，参看注 25。
36，根据此小节此部分前文及此小节此部分的之前之注释，对于任意 i，

Y i 之内点集（参看注 28）均自然地为欧式空间 R 中之维数为 n 的“开子流
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形”--- 亦即既是 R 中之开集（参看注 23 和注 29）也是 n 维的拓扑流形（参
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看注 33），而 Y i 之边界（参看注 30）为“嵌入”（参看注 31）在 R 中的 n-1
维之紧致（参看注 32）且无边（参看注 30）的拓扑流形 --- 故而 Y i 之边界

之标准之欧式体积或“测度”（参看注 24）为 0，而 Y i 之标准之欧式体积或“测

度”大于 0 当且仅当 Y i 之内点集为非空集 。
37，关于拓扑空间之间的“同胚”关系，注 31 和注 33 中已经有所涉及，