Page 372 - 如何通向中国特色社会主义政治经济学

358 ｜ 如何通向中国特色社会主义政治经济学

这里我们给出其如下之正式定义：拓扑空间 X 和 Y 是“同胚”的，当且仅
当存在一个从 X 到 Y 的映射 f：X → Y，使得 f 首先是个一一映射 --- 亦

即存在从Y到X的f之“逆映射”g （亦即g与f的复合为从X到X的恒
等映射：gf=id，而 f 与 g 的复合为从 f(X) 到 f(X) 的恒等映射：fg=id），且
映射 f 和映射 g 在 X 和 Y 的拓扑下均为连续映射（如注 31 和注 33 已经有所

论及的，一个从拓扑空间 X 到拓扑空间 Y 的映射 f 是“连续”的，当且仅当
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对于任一 Y 中之开集 U，其在 X 中之原象 f (U) 亦为开集）。
进一步地，可以很容易证明拓扑空间之间的“同胚”关系是一种“等价”
关系，而“拓扑学”很大程度正在于研究拓扑空间之在“同胚”下的各种不
变之性质。

38，参考文献 : J.W.Alexander “A Proof and Extension of the Jordan-
Brouwer Separation Theorem”, L.E.J.Brouwer, “Beweis des Jordanschen

Satzes für den n-dimensionalen Raum.” T.Lawson “Topology: A
Geometric Approach”, R.Maehara “The Jordan Curve Theorem via the

Brouwer Fixed Point Theorem”, O.Veblen “Theory on Plane Curves in
Non-metrical Analysis Situs”

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2之
根据“Jordan 曲线定理”，任一从一维球面 S 到欧式平面 R “嵌入”f（参
看注 31）的象 f(S ) 一定会将欧式平面 R 分成两个其内点集（参看注 28）均
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非空的连通（参看注 25）之集合，且其中有且仅有一个集合为有界集（参看
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注 26）。此时此有界集加上此 R 中之曲线 f(S ) 即构成一个其内点集非空的
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R 中之有界之闭集（参看注 27），同时其边界（参看注 30）即为此同胚（参
f
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看注 31、注 33 和注 37）于 S 之曲线 (S )。
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进一步地，当我们同时考虑多个欧式平面 R 中之互不相交且均同胚于
一维球面 S 之曲线时，可将上述图景自然地推广 --- 此时这些 R 中之互不
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相交且均同胚于一维球面 S 之曲线也将自然地围成一个内点集非空的有界闭
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集，同时其边界、亦即这些 R 中之曲线为一个“嵌入”在 R 中的一维紧致（参
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看注 32）且无边的拓扑流形（参看注 33）。
“Jordan 曲线定理”表面上是明显的，但要证明它十分困难。对于较简