Page 369 - 如何通向中国特色社会主义政治经济学

附录 注释及参考文献 ｜ 355

集，都一定有一个以 x 为中心的开球 B x (r) 被严格地包含于此开集之中。
24，参考文献：P.R.Halmos “Measure Theory”, J.Yeh “Real Analysis:

Theory of Measure and Integration”
如上为关于数学中的“测度论”、乃至于“实分析”的参考文献。
n
在 n 维欧氏空间 R 中之自然且标准之欧式体积度量或“测度”下，一
个由 n 个坐标轴之各自之开区间 (a 1 ,b 1 ),(a 2 ,b 2 ),(a 3 ,b 3 ),…,(a n ,b n ) 之“笛卡尔
n
积”所构成的 R 中之高维开矩形（符号“#”代表集合间的“笛卡尔积”运算）
(a 1 ,b 1 )#(a 2 ,b 2 )#(a 3 ,b 3 )#…#(a n ,b n ) 的体积或“测度”为（符号“*”代表数字
间的“相乘”运算）(b 1 -a 1 )*(b 2 –a 2 )*(b 3 –a 3 )*…*(b n -a n )。进一步地，欧氏空
n
间R 中之其他所有“可测集”的标准之欧式体积或“测度”均可被欧氏空
n
间R 中之高维开矩形的上述体积或“测度”所导出。
n
25，一个欧氏空间 R 中之子集 U 是“连通”的，当且仅当任何 U 的在
U 中既是开集也是闭集的子集 V 一定只能是 U 本身。这里“在 U 中既是开
集也是闭集”指的是：存在欧氏空间 R 中之开集 K 和闭集 B，使得（符号“∩”
n
代表集合间的“取交集”运算）V=K ∩ U，且 V=B ∩ U。反之，一个欧氏
空间 R 中之子集 U 是“非连通”的，则当且仅当存在 U 的真子集 V--- 亦
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即被包含于 U 而又不等于 U 的集合 V，使得 V 在 U 中既是开集也是闭集 ---
此时如果集合 V 本身是“连通”的，则 V 将是 U 的一个“连通分支”。
n
26，一个欧氏空间 R 中之子集 U 是“有界”的，当且仅当其可被包含
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于一个 R 中之半径有限的开球 B x (r)。
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n
27, 如注 23 所论的，一个欧氏空间 R 中之子集 U 是 R 中的“闭集”或“闭
子集”，当且仅当其在 R 中的补集或余集（符号“/”代表集合间的“取余
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n
n
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集”运算）R ∕U是R 中的“开集”或“开子集”，亦即 R ∕ U 是任意个，
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特别地可以是无限个 R 中之开球的并集。
n
28，一个欧式空间 R 中之子集 U 的“内点集”为满足如下条件的 U
n
中之点所构成之集合：存在一个以此点（比如点 x）为中心的 R 中之开球
n
B x (r)，使得 B x (r) 被包含于 U 中 --- 亦即存在一个点 x 之在 R 中之开邻域，
使得这个开邻域中的所有点均属于集合 U。特别地，据如上定义，我们可立