Page 132 - 初中数学核心题组——提升核心素养的培优框架

初中数学核心题组
——提升核心素养的培优框架

专题 4 勾股数、勾股定理综合探究

一、基本模型

1．判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长（书 P16 2）
（1）8，15，17 （3）12，15，20
（2）7，12，15 （4）7，24，25

2．架云梯长 25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端
离墙 7m。（书 P18 11）
（1）这架云梯的顶端距地面有多高？
（2）如果云梯的顶端下滑了 4m，那么它的底部在水

平方向也滑动了 4m 吗？

二、模型基本应用

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1．法国数学家费尔马早在 17 世纪就研究过形如 x +y ＝ z 的方程，显然，这个
方程有无数组解。我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，
如（3，4，5）就是一组勾股数。
（1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，
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x ＝ 2n，y ＝ n –1，z ＝ n +1，那么，以 x，y，z 为三边的三角形为直角三角
形（即 x，y，z 为勾股数），请你加以证明；
（2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，

25），（9，40，41）…，直接写出第 6 个数组。

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