Page 323 - 数学建模算法与应用
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第十一章 时间序列分析研究
2 阶差分：
一般地， d 阶差分：
其中 d 称为 d 阶差分算子
设 {X ，t = 0，±1，±2，…} 是非平稳序列。若存在正整数 d ，使得
t
而 {W ，t = 0，±1，±2，…} 是 ARMA( p， q) 序列，则称 X 是 ARIMA( p，
t
t
d，q) 序列。这时 X 满足
t
（139）
若 d X 为平稳序列，但均值 μ ≠ 0，则 d X － μ 为平稳零均值序列，满足
t
t
（140）
此时，称 X 为一般 ARIMA( p，d，q) 序列，若 μ 未知，可用 d X 的平均值
t
t
x 估计。 若 X 的观测样本是 X ， X ，…， X ，经过 1 阶差分后，数据减少为 n -1 个；
t
n
2
1
2 阶差分以后，数据为 n - 2 个；一般地，d 阶差分以后，数据为 n - d 个。由 d
阶差分 d X 复原数据，需要给定初值 X ，X ，…，X 。
d
1
2
t
在确定模型时，往往采用下面的方法。先对 X 的样本 X ，X ，…，X ，计
2
n
t
1
算样本自相关函数与样本偏相关函数。如果是截尾的或者是拖尾的（即被负指数
控制的），说明已服从 ARMA 模型。若自相关函数与偏相关函数至少有 1 个不
是截尾的或拖尾的，说明 X 不是平稳的，可以作 1 阶差分 X ，t = 2，3，…，
t
t
n ，并求其样本自相关函数与样 本偏相关函数，再用上述方法讨论。这样，直至
判断 d X 是平稳序列为止。在实际计算中，若遇到样本自相关函数或样本偏相
t
关函数的图形虽然下降，但下降很慢，应认为 是非平稳序列，需作差分运算。
若初值 X ， X ，L，X 已知，由
d
1
2
可以复原 X 。给出 d =1，2 时的复原公式，这是不难证明的。
t
d =1
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