Page 114 - 初中数学核心题组——提升核心素养的培优框架
P. 114
初中数学核心题组
——提升核心素养的培优框架
专题 14 轴对称中的路径问题（将军饮马）
1．（1）【特例分析】如图 1，在直线 l 的两侧分别有点 A 和 B，要在 l 上确定一
点 P，使点 P 到 A、B 的距离之和最小。
（2）【类比探究】如图 2，点 A、B 在直线 l 同侧时，此时点 P 在何处才能使
PA+PB 最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。
如图 3，作 B 关于直线 l 的对称点 B′，连结 AB′与直线 l 交于点 P，点 P
就是所求的位置。
证明：在直线 l 上另取任一点 P′，连结 AP′，BP′，B′ P′，
∵直线 l 是点 B，B′的对称轴，点 P，P′在 l 上，
∴ PB ＝ ，P′ B ＝ ，
∴ AP+PB ＝ AP+PB′＝ 。
∵在△ AP′ B′中，AB′＜ AP′ +P′ B′，
∴ AP+PB ＜ AP′ +P′ B′即 AP+PB 最小。
图 1 图 2 图 3
（3）【特例运用】①如图 4，在△ ABC 中，AB=AC，直线 EF 是 AB 的垂直平
分线，D 是 BC 的中点，M 是 EF 上一个动点，△ ABC 的面积为 12，BC=4，
则△ BDM 周长的最小值是 ______。
102
