Page 274 - 初中数学核心题组——提升核心素养的培优框架

初中数学核心题组
——提升核心素养的培优框架

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5．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式 x +6x+5 的最小值。
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∵ x +6x+5 ＝ x +2×（3x）+3 –3 +5 ＝（x+3） –4，且（x+3） ≥ 0，
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∴当 x ＝ –3 时，x +6x+5 有最小值 –4。
请根据上述方法，解答下列问题：
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（1）若 x +4x–1 ＝（x+a） +b，则 ab 的值是 ；
（2）求证：无论 x 取何值，二次根式 都有意义；
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（3）若代数式 2x +kx+7 的最小值为 2，求 k 的值。

6．[ 项目学习 ] 配方法是数学中重要的一种思想方法。它是指将一个式子的某部
分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常
被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题。
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例如，把二次三项式 x –2x+3 进行配方。
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解：x –2x+3 ＝ x –2x+1+2 ＝（x –2x+1）+2 ＝（x–1） +2。
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我们定义：一个整数能表示成 a +b （a，b 是整数）的形式，则称这个数
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为“完美数”例如，5 是“完美数”。理由：因为 5 ＝ 2 +1 。再如，M ＝
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x +2xy+2y ＝（x+y） +y （x，y 是整数），所以 M 也是“完美数”
[ 问题解决 ]
（1）请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ；
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（2）若二次三项式 x –6x+13（x 是整数）是“完美数”，可配方成（x–m）+n （m，
为常数），则 mn 的值为 ；

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