Page 322 - 初中数学核心题组——提升核心素养的培优框架
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初中数学核心题组
——提升核心素养的培优框架
专题 18 综合实践之黄金分割
1．古希数学家欧多克索斯（Eudoxus, 约前 400—前 347）在两千多年前发现了一
种最能引起美感的分割比例：线段上一点把一条线段分割为两部分，使较大
部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值。我们称这样的分割为黄
金分割，这个点就是黄金分割点，这个比值就叫做黄金分割比。如图 1，点 P
AP PB
是线段 AB 上的一点（AP ＞ BP），且 = ，则点 P 是线段 AB 的黄金分割点，
AB AP
AP
AB 的值就是黄金分割比。
（1）【理解概念】黄金分割比是一个常数，请根据上面的描述，请求出黄金
分割比的比值；
（2）【问题探究】如图 2，对于任意的一条线段 AB，我们可以通过下面方法
找到它的一个黄金分割点：
第一步：取线段 AB 的中点 C；
第二步：过点 B 作 AB 的垂线 BQ，以 B 为圆心，BC 为半径作弧交 BQ 于点 D，
1
即在 BQ 上截取 BD = AB ；
2
第三步：连接 AD，并以 D 为圆心，BD 为半径作弧交 AD 于点 E；
第四步：以 A 为圆心，AE 为半径作弧交 AB 于点 P，则点 P 就是线段 AB 的
一个黄金分割点。试证之；
（3）【拓展应用】：如图 3，在 ABC∆ 中，点 D 是线段 AC 的黄金分割点，
且 AD ＜ CD，AB=CD。
①求证： ABC∠ = ∠ ADB ；
②若 BC=4cm，求 BD 的长。
图 1 图 2 图 3
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