Page 119 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

  2
H    2  g  2  U   r
2 m E

将该算符作用于物质波函数Φ上，即得到（7.41）式所示的波动方程
   2 2
i    2   g    U   r
t  2 m E
这是非相对论性的物质波波动方程，是一个非线性波动方程，方程中的静能项为非线性项。

在非相对论情况下，考察粒子的空间运动状态可以省略非线性静能项，则（7.41）式可改写
成（7.43）或（7.76）式
   2
i    2  U   r
t  2 m

   2
i k    2   U  r
t  2 m k k
如果将物质波函数Φ或德布罗意波波函数φk 替换成概率波函数ψ，以上两式就成为薛定谔方
程（7.7）式
   2
i    2  U 
t  2 m

由（7.89）式经算符代换所得的方程均不满足相对论不变性的要求，因为该能量表达式未考
虑粒子运动的相对论效应，方程中对时间是一阶微分，对空间坐标是二阶微分，可见时间和
空间并非处在同等的地位上。
第二个能量表达式（7.90）式是相对论情形下粒子的能量动量关系式。将其作（7.8）式

的代换，并作用于物质波函数Φ上，同时考虑粒子所处的势场 U，即可得
 2 
2
  2   2 c  2   m 2 c 4  U   r （7.93）
t  2 0
将上式中的物质波函数Φ替换为概率波函数ψ，就是（7.46）式的克莱因-戈登方程
 2 
2
  2   2 c  2   m 2 c 4   U   r
t  2 0
将（7.93）式中的静能项作（7.92）式的代换，即得
 2  2
2
  2   2 c  2   g   U   r （7.94）
t  2 E
此方程可称为非线性克莱因-戈登方程。
克莱因-戈登方程是最早提出的相对论性波动方程，它与薛定谔方程的不同之处就在于
方程中波函数ψ对时间 t 的偏导数亦为二阶，这样就使时间和空间处在同等的地位上。但问

题是，这个二阶波动方程的解存在“负能量”和“负概率”困难，且克莱因-戈登方程应用
于氢原子所得到的结果与实验观测不符。由于这些原因，克莱因-戈登方程提出后被搁置达
七年之久，直到 1934 年，泡利和韦斯科夫（V.F.Weisskopf）给予它新的解释之后，才重新

引起人们的注意。现在的普遍观点是，应该把克莱因-戈登方程看成一个标量场方程，场量
子的自旋为零，可用来描述自旋为零的粒子，如π介子。
为了克服克莱因-戈登方程遇到的负概率困难，狄拉克提出了电子的相对论性波动方程。

狄拉克觉得若使薛定谔方程中ψ对空间坐标的偏导数降低为一阶，同样可达到时空地位同等

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