Page 116 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

P 2
H    U   r （7.73）
2 m

代换为哈密顿算符，并作用于物质波函数Φ(φk,φ0)，可得
2
ˆ
H  ,  k    2  m  2   ,  k  U    0  , k  （7.74）
r
0
0
φ0 波是与粒子的时间运动相关联的波。在非相对论情形下，φ0 波所对应的粒子静质能 E0 为
常量，粒子的哈密顿量主要取决于粒子的德布罗意波，粒子在势场中的运动状态可由德布罗
意波函数φk 完全描写。因此，可以把波函数φ0 作为常数归并到德布罗意波函数φk 中，于是，
上式可写成
2
ˆ
H   2  m  2   U   r  k （7.75）
k
k
将哈密顿算符替换为能量算符
   2
i k    2   U   r  （7.76）
t  2 m k k
这是粒子的德布罗意波的波动方程。它与薛定谔方程（7.7）式具有相同的数学形式，但波

函数的物理意义完全不同。在薛定谔方程中，波函数ψ描述的是粒子在空间出现的概率的波
2
动，ψ是概率幅，|ψ| 表示在空间某点找到粒子的概率。而在上述物质波的波动方程中，波
2
函数Φ（或φk）描写的是物质的空间分布的波动，Φ是物质密度幅，|Φ| 表示在粒子复空
间某点的物质密度。
考虑粒子在恒定势场 U(r)中运动的情形。类似解薛定谔方程一样，方程（7.76）式也可
用分离变量法求解。由于德布罗意波是粒子的物质波的一个分波，德布罗意波函数φk(r,t)也
包含时间的周期函数，故应有下列形式的解
 k   t ,r  k  er  iEt/  （7.77）

将上式代入（7.76）式，波函数φk(r,t)的空间部分   k   r 满足的方程为
k
 2
E   2 m  2   U   r  k （7.78）
k
k
此方程是定态粒子的德布罗意波的波动方程，可称为定态德布罗意波方程，函数   k   r
k
可称为定态德布罗意波函数。上式中的能量 E 是粒子的动能和势能之和。由于物质波函数
与概率波函数一样，也可以归一化，故求解上式得出的具有物理意义的物质波函数也应满足
单值性、有限性和连续性等标准条件。
如果势能 U(r)只依赖于场点到原点的距离 r，与极角θ和辐角φ无关，即具有球对称性，
则描写粒子的空间运动的德布罗意波在 r、θ、φ三个方向互相独立，可把定态德布罗意波函
数   r k 在球坐标（r,θ,φ）中分解成在 r、θ、φ空间的三个波之积


 Φ
 k  r ,,   R       （7.79）
r
Θ
其中 R(r)为径向波函数，Θ(θ)和Φ(φ)分别为沿θ和φ方向的波函数。在球坐标中，拉普拉斯
2
算符 可以写成
 2  2  2
 2   
x  2 y  2 z  2

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