Page 117 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

1   1 1   1 1  2
 r 2  sin  （7.80）
2
r 2 r r r 2 sin     r 2 sin    2
把它和（7.79）式代入（7.78）式，可得
2
1 d  r 2 d R   2mr 2  UE   r 1 1 d  sin dΘ   1 1 d Φ （7.81）


2
R d  d    2 Θ sin d  d  Φ sin  d 2
r
r
这是定态德布罗意波波动方程的球坐标形式。
五、非线性波动方程的孤子解
一般来说，求解非线性波动方程是比较困难的，绝大多数非线性微分方程的解都不能表
达成解析形式。直到上世纪 70 年代，有一些非线性微分方程如 KdV 方程用反散射法求出了

解析解，其解是一个能保持振幅不变传播的孤立波或孤子。受到这一成果的鼓舞，科学界掀
起了研究非线性方程的“孤子热”。在超导和超流研究中，得到了描写超导现象的
Ginzbarg-Landau（GL）方程和描写超流现象的 Gross-Pitaevskii（GP）方程，这两个方程都
是典型的非线性薛定谔方程（NLSE），都有孤子解。人们用非线性薛定谔方程研究光在光
纤中传播的光孤子问题，取得了丰硕成果，同时也大大加深了对非线性波动方程的了解。
方程（7.41）式是典型的非线性薛定谔方程，在一维情况下，如果 U(r)=0，gE=g=常数，
则方程可写成
Φ  2  2 2
i  Φ  Φg Φ  0 （7.82）
t 2m x 2

上式可表成
i Φ  t Φ x  x  Φg 2 Φ  0 （7.83）



式中， x  x /  2 2 / m ，t   / t 。假设该方程具有以下形式的解
Φ x ,  t   x,  t e i x,  t
将上式代入（7.83）式，可得
 x  x   t  2  x  g 2   0 （7.84）

 x  x  2   x  x   t  0 （7.85）

可让θ=θ(x'－ νut')，φ=φ(x'－ νgt')，则上面两个方程变成
 x  x   u  t  2  x  g 3  0 （7.86）
 x  x  2   x  x   g  t  0 （7.87）

对于某一较小时刻 t'，可以对以上两个式子积分，可得
 2  2 x  g  A   t

让积分常数 A(t' )=0，则可以得到
   g 2 /
x
代入（7.84）和（7.85）式并积分，可得
d

  0 Q   x    g t
 

其中

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