Page 135 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

1 d  r 2 d R  2 m e r 2  E  e 2 

R d r  d r    2   4 0 r  

1 1 d  dΘ  1 1 d Φ
2
   sin   （8.48）
2
Θ sin d  d  Φ sin  d 2
此方程与定态薛定谔方程具有完全相同的形式，但波函数的物理意义不同，薛定谔方程中的
波函数是概率波函数，此方程中的波函数是物质波函数。求解此方程（这里省略求解过程，
具体方法与解薛定谔方程相同），可得到下面一些结论。氢原子的能量和角动量的可能取值

都是量子化的，氢原子中核外电子的状态由 3 个量子数（n,l,ml）决定，如表 8.1 所示。
表 8.1 氢原子的量子数

名 称 符 号 可 能 取 值
主量子数 n 1,2,3,4,5,…
轨道量子数 l 0,1,2,3,4,…,n-1

轨道磁量子数 ml -l,-(l-1),…,0,1,2,…,l

主量子数 n 和波函数的径向分量 R(r)有关，它决定电子的能量
m e 4 Z 2 1
E   e  （8.49）
n
2
2 4 0   2 n 2
Z 是原子序数，氢原子的原子序数 Z=1。上式表示氢原子的能量只能取离散的值，这就是能
量的量子化。上式也可以写成
e 2 1
E    （8.50）
n
2 4 0 a 0 n 2

式中
4  2
a  0 （8.51）
0
m e e 2

具有长度的量纲，叫玻尔半径，被认为是核外电子的最小轨道半径。将各常量值代入得
a 0  . 5 29177249  10  11 m （8.52）

由（8.50）式可知，氢原子能量的量子化对应于电子轨道半径的量子化，即
r  n 2 a  a 0 4 , a 0 9 , a 0 , 16a … （8.53）
0
0
r 表示核外电子的轨道半径，它取决于主量子数 n。

轨道量子数 l 和轨道磁量子数 ml 分别与波函数的Θ(θ)部分和Φ(φ)部分有关，l 决定了电
子的轨道角动量的大小，ml 决定了电子的轨道角动量的空间取向，可分别表示为
L el   l l 1  （8.54）
L e lz  m l  （8.55）

Lelz 是 Lel 在 z 轴方向的投影。它们表明，电子的轨道角动量只能取一些离散的量子化的值，
并且电子的轨道角动量的指向也是量子化的。对于一定大小的轨道角动量，亦即对于给定的
l，它的投影只能取 2l+1 个离散的量子化的值，也就是说，电子的轨道角动量的空间取只能
取 2l+1 个特定的方向。

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