Page 136 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

除此之外，核外电子的自旋角动量在磁场方向的分量只有两个量子化值（± /2），与
之对应，自旋角动量的方向只能有两个特定的空间取向，这两种量子化特征可分别用自旋量

子数 s 和自旋磁量子数 ms 表示，并有
3 1
L  s  s 1    ， s  （8.56）
es
2 2
1 1
L e sz  m s  ， m s   2 , 2 （8.57）

s 只能取 1/2 这一个值，ms 只取 1/2 和-1/2 两个值（代表自旋角动量的两个特定方向）。Lesz
是核外电子的自旋角动量 Les 在 z 方向的投影。由（8.35）、（8.36）和（8.57）式可知，核
外电子的自旋磁矩及其在 z 方向的投影可表示为
e 1
  g s  s  1 s  （8.58）
es
2m e 2
1 1
 e sz  m s g B m s   2 , 2 （8.59）

用分离变量法求解方程（8.48）式，得到Φ(φ)、Θ(θ)、R(r)三个函数为

Φ    Ae  im l  （8.60）
Θ     BP l l m cos   （8.61）

 2Zr
l
R    Cr  e 2 L 2 l l 1    ，   na 0 （8.62）
n
式中 A、B、C 为常数，P l l m cos   是连带的勒让德（Legendre）函数，L 2 l l 1    是连带的拉
n
盖尔（Laguerre）多项式。核外电子的定态德布罗意波函数可表示为以上三个函数的乘积
r
Θ

 k  r ,,   R       （8.63）
 Φ
从Φ(φ)、Θ(θ)、R(r)三个函数可以看出，波函数 只包含 n、l、ml 三个量子数，不包含自旋
k
量子数 s 和自旋磁量子数 ms，说明德布罗意波的波动方程（或薛定谔方程）不描写电子自
旋。包含电子自旋的波动方程是狄拉克方程（（7.47）式或（7.50）式），求解氢原子的狄
拉克方程可以得到（8.56）～（8.59）式的结果。我们还可以进一步求解氢原子的物质波的
非线性波动方程即非线性薛定谔方程（7.41）式或非线性狄拉克方程（7.51）式，除得到上
述结果之外，还应有孤子解。只不过解氢原子的非线性波动方程比较复杂，但结果是可以预
期的。

孤子可以看成是一个空间闭合的三维驻波波包，孤子解同时也是三维驻波解。也就是说，
氢原子可以看成是由电子的物质波和质子的物质波耦合而成的一个复合波包，这个复合波包
必须是一个三维驻波。这里可以参照二维李萨茹图的形成原理来探讨三维驻波的形成机制。
所谓李萨茹图实际上是一个质点同时在两个相互垂直的方向上作简谐运动形成的图形，如果
这两个振动的频率为任意值，那么它们的合成运动就会比较复杂，而且轨迹是不稳定的；如
果两个振动的频率成简单的整数比（有理数），这样就能合成一个稳定、封闭的曲线图形，
如图 8-4 所示。这种合成运动是轨迹闭合的周期性运动。如果两个振动频率之比是无理数，
那么它们的合成运动将永远不再重复已走过的轨迹，这种合成运动称为准周期运动。拓扑学
家证明，准周期运动在结构上是亚稳定状态，稍有参量变化，譬如引入微弱的耦合，两个振

动的频率就会锁定到一个相近的有理数比值上，即产生同步锁频现象。因此，周期性运动是

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