Page 140 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

这就是在相空间做一个截面，M 的轨道每转动一周便与该截面相交一次，其交点为“截点”，
于是截点就成为尘埃行星 M 运行轨迹的“代表点”。通过观察这些代表点及其分布可以分

析 M 的运行规律：
单周期运动：截面上只有一个截点，M 每个周期的轨迹都重复经过此点（见图 8-7a）；
两周期运动：截面上留下两个截点，相邻两圈的的轨迹在不同位置穿过，需要运行两个
周期才经过同一截点，并开始重复运行（见图 8-7b）；
多周期运动：截面上留下三个或三个以上截点，M 的轨迹连续多圈都在不同位置穿过，
需要运行多个周期才经过同一截点，并开始重复运行（见图 8-7c）；
准周期运动：截面上的截点密集形成一封闭曲线，系统并不严格地回复到先前状态，而
只是接近于原来状态（见图 8-7d）；
混沌：截面上的截点密集成片构成不规则图像或形成具有分形结构的图像（见图 8-7e）。

a b c d e

图 8-7 庞加莱截面上代表点的分布及其意义

庞加莱运用这个方法研究发现，尘埃行星 M 的运动轨迹非常复杂，没有周期性轨道，
而且轨道从不自相交，但会以复杂的方式无数次与以往轨道的任意小的邻域相交。他还发现
M 的轨道是高度不稳定的，任何微小的扰动都会使运动轨迹在一段时间之后有显著的偏离。
他写道“人们一定会被这种难以描述的复杂形态而震惊”，“小的初始条件的偏差会导致最
终结果的重大区别……从而预言变得不可能”。这种三体问题的复杂性是庞加莱始料未及的，
后来人们把这种复杂运动称为“混沌”。虽然庞加莱当时没有最终解决瑞典国王悬赏的课题，

但他卓越的工作还是获了奖，并开拓了一个数学新领域，产生了极其深远的影响。
庞加莱的研究成果后来被应用于对非线性系统的研究。由于非线性系统的复杂性，对混
沌的研究长期徘徊不前，直到高速计算机发展起来以后，才取得了突破性进展，其标志性事
件是美国气象学家爱德华·洛伦兹（Edward Lorenz）于 1959 年发现的“蝴蝶效应”。他当时
在研究天气系统时，导出了一组非线性微分方程，当他把方程组的求解程序输入到电子计算
机之后，他惊奇地发现，将仅仅相差 0.0001 的两个初始条件输入，计算得出的两条曲线不
久就分道扬镳，相差很远。于是洛伦兹认定，他发现了新的现象：事物发展的结果对初始条
件具有极为敏感的依赖性，这种“对初始值的极端不稳定性”就是“混沌”，又称“蝴蝶效
应”。此后，类似的研究在各个领域展开，譬如电子电路、湍流、种群动力学、分形几何、

木星大红斑的稳定性、恒星轨道、土卫七的翻滚等，这些动力学系统都包含混沌。现在，“混
沌”用来特指决定性动力学系统中的內禀随机行为。动力学系统通常是由微分方程、差分方
程或简单的迭代方程所描述，例如牛顿运动方程和薛定谔方程，这些方程都是决定性的，即
方程中的系数是确定的，没有概率性的因素。从数学上说，对于确定的初始值，决定性的方
程应给出确定的解，描述着系统确定的行为。但是在某些非线性系统中，系统行为会因初始
值极微小的扰动而产生很大的变化，即系统对初值的敏感依赖性。由于这种初值的敏感性，
从物理上看，系统行为好像是随机的。这种随机性不是系统受外部干扰产生的，而是决定性

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