Page 263 - 数学建模算法与应用

第九章 排队论模型的研究

第四节 M/M/s 等待制排队模型的分析

一、 单服务台模型

单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为 λ
的负指数分布，服务台个数为 1，服务时间 V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统
空间无限，允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

（一）队长的分布
记 p = P{N =n}（ n = 0，1，2，…）为系统达到平衡状态后队长 N 的概率分布，
n
则由式（4）～（6），并注意到 λn =λ，n=0，1，2，…和 μn =μ，n = 0，1，2，…。记

并设 ρ < 1（否则队列将排至无限远），则

故

其中

（7）

因此
n
p = (1-ρ)ρ ， n =1，2，… （8）
n
公式（7）和（8）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率。由式（7）
不难看出，ρ 是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概
率，因而也称 ρ 为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，（8）式只有在

的条件下才能得到，即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，
才能使系统达到统计平衡。

（二）几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到
平均队长

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