Page 267 - 数学建模算法与应用

第九章 排队论模型的研究

三、多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）

设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为 λ 的负指数分布，系统中共

有 s 个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。
当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，
等待时间为无限。

下面来讨论这个排队系统的平稳分布。记 p = P{N = n}（ n = 0，1，2，L）为
n
系统达到平稳状态后队长 N 的概率分布，注意到对个数为 s 的多服务台系统，有
λ =λ，n = 0，1，2，…
n
和

记 则当 ρ < 1 时，由式（4），式（5）和式（6），有
s

（18）

故

（19）

其中

（20）

公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s

时，即系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记

（21）

式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。
对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 L 为：
q

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