Page 280 - 数学建模算法与应用

Mathematical Modeling Algorithms and Applications
数学建模算法与应用

第七节 排队系统优化的应用

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前
者为静态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，
从而使系统最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标
函数达到最优的运营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以
本节着重介绍静态最优问题。

在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应
地采用边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划
或动态规划等方法。

一、M / M /1 模型中的最优服务率 μ

先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统
中逗留费用之和的期望值，即
z = c μ + c L
w s
s
其中 c 为服务一个顾客时单位时间内的服务费用，c 为每个顾客在系统中
w
s
逗留单位时间的费用，则由式（9），有

令

解出最优服务率为

（93）

下面考虑 M / M /1/ K 模型，从使服务机构利润最大化来考虑。由于在平稳

状态下，单位时间内到达并进入系统的平均顾客数为 λ = λ(1- pK ) ，它也等于单
e
位时间内实际服务完的平均顾客数。设每服务一个顾客服务机构的收入为 G 元，
于是单位时间内收入的期望值是 λ(1- pK )G 元，故利润 z 为

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