Page 379 - 数学建模算法与应用

第十二章 混沌技术的数字图像处理方法

（29）

其中，c 和 d 为两个正整数。公式（29）称为三维猫映射。利用矩阵理论
容易求出矩阵 R 的特征值为 l 2 =ab+1>1，l 2 =l 3 =1。因此，映射（29）的 Lyapunov
指数为 s 1 =lnl 1 >0，s 2 =s 3 =0。根据混沌理论，由于映射（29）包含一个大于 0 的

Lyapunov 指数，则该猫映射是混沌的，利用公式（29）进行图像加密处理得到
的图像加密信号就是类随机信号。

为了充分利用三维猫映射进行图像加密，首先将映射（29）变为如下形式

（30）

其中，N 为图像的高度和宽度，M 为图像的灰度级。在图像加密过程中，映
射（30）中的 x、y 和 x’、y’、y’分别表示像素点在图像置乱前和置乱后的位置，z’

和 z 分别表示像素点在替换前和替换后的像素值。三维猫映射（30）能够同时完
成包括置乱和替换的双重加密。一方面，利用二维猫映射（28）对图像进行置乱，
当映射选代 n（n>1）后，图像相邻像素之间的相关性会变得很小。另一方面，
像素值替换过程引入像素点的位置信息，这将进一步提高加密算法的安全性。

二、图像加密算法

在三维猫映射中，其混淆效果主要受参数 α、b 和 n 的影响，而置换操作则

取决于参数 c 和 d。为了增强对潜在攻击的防御能力，尤其是针对攻击者可能利
用二维猫映射周期性的弱点来破解图像混淆过程，同时增加混淆与置换步骤对密
钥的敏感度，四个控制参数 α、b、c 和 d 不再直接设定，而是通过两个不同的

混沌系统动态生成。具体而言，采用二维 Hénon 映射来生成混淆所需的参数 a、
b 和 n，而改进型的二维 Logistic 映射则用于生成置换所需的参数 c 和 d。这样不

仅提高了系统的安全性和复杂度，还增加了攻击者破解的难度。
（一）置乱参数的产生
Henon 映射是一个二维离散混沌系统，可以表示为

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