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第八章 高中数学教学中数形结合方法的应用

第八章 高中数学教学中数形结合方法的应用

第一节 数形结合思想的理论研究

一、数形结合思想的历史演进

①数的来源起始于计量数字，是对单个的具体的物体数量的计量，自从数的
概念产生之后，古人都是用“记号”的方法来表示“数量”，在古代的各式各样
的计数法中，都是以各式各样的具体的图形来表达抽象的数量的形式，如古埃及
的象形字、中国的甲骨文等。中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，也

是数形结合的典型范例，直到现代社会人们的生产和生活都还离不开这些工具。
数字的产生来源于各种各样的“形”的描述，古代数量的记录得益于人们对形的
使用、计算。早在中国古代的象形文字里就出现过对数字的记录，西方国家早期

的数学发展，最开始研究数与形的时候，就常常把数和平面上的点联系起来，然
后把数进行分类，结合图形推导出结论。三角形数，四边形数，五边形的数和数
与数之间的相互表达：任何一个正方形数都由两个三角形组成，第 n 个五边形数
等于第（n-1）个三角形数的 3 倍加上 n2。这种研究方法是利用很多关于整数的

研究结果得以简洁地表达。“形”推动了“数”的发展。这是早期“数”与“形”
相结合的体现。
②古希腊时期数学的发展主要以几何学为代表的欧几里得的《几何原本》，
可谓是几何学最早的大发展时期的典型，使数学在几何学的发展下迅速成长并壮

大。这时候从图形的基础上处理相似的代数问题变得自然而然。在矩形的面积，
立方体的体积等问题上人们往往不会只局限于图形的测量上，它们从中找出规律
使用的线段代替数的乘积来表示。例如，平行四边形面积的计算，他们会把平行
四边形通过割补法转变成已经学过的矩形再计算面积。用两数的相加表示线段的

延长，两数的相减表示线段的减少，“若是把线段在某一点割开，则在线段上的
正方形等于两线段上的正方形加上以两段为边的矩形。”这一几何事实反映的代
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数问题就是 (a+b) =a +2ab+b 。这种用几何图形来表示代数的方法对现代数学研
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