Page 175 - 核心素养下的高中数学课堂教学实践与探究

第八章 高中数学教学中数形结合方法的应用

数学中“形”的概念在学习中不断得到巩固，从小学的平面图形到高中的平
面几何再到高中的立体几何的发展再到 n 维空间的放射几何。不难看出几何学已
经融入我们的生活中，我们已经离不开几何的学习，要想让几何学为我们人类服

务，就要深入地了解并挖掘几何信息。比如：长度、角平分线、三角形、函数、
圆等观点，不是凭空地在思维中想象出来的，是在我们生活中实实在在存在的，
需要我们解决的。我们可以凭借这些鲜明的几何图像，更容易理解、接受并能进
一步去探索这种数量关系。

空间几何是用数学中的数字变化量来描述的，在这个变化中，学生对形的认
识有了更进一步的了解，找到了数与形之间本质的区别，进而把数与形的数量与
几何图形内在联系推广到了 n 维空间，从而推导出了数与形之间的联系，在 n 维
空间上也能得到推广，换句话说，这些数量关系在几何意义上有了明确的、形象

的说法。

二、数形结合思想的发展

随着数学的不断进步与发展，数学家们开始有意识地将数与形结合在一起，

以达到解决相应的数学问题的目的。毕达哥拉斯学派将一个点看作是单位“1”，
由此，由一系列点连接成的图形与组成这个图形的点的个数就形成了一一对应的
关系。毕达哥拉斯学派根据这种特殊的形与数之间的关系，通过分析图形之间的
几何关系与规律，从而推导出相应的数所具有的规律，即通过对称的研究来推动

数的发展。如图 8-1 所示，数学家们根据图形的几何属性将其所对应的数分成了
几类，如三角形数、正方形数、五边形数，并通过图形间的拆分组合发现了数的
一些规律，如第 n 个三角形的点数与第 n+1 个三角形的点数之和等于第 n+1 个正
方形数；第 n 个正方形的点数再加上 2n+1 个点数即是第 n+1 个正方形的点数，
2
即有公式 n +2n+1=（n+1）2 成立。
正是毕达哥拉斯学派发现的图形与数之间的这种关系，使得他们形成了万物
皆数的世界观。他们提出既然数可以看作是一些点的组合，那么数就都应该是整
数或者是可以转化成整数之比的。但可笑的是之后他们发现非整数的存在，也是

通过这种将数与图形相结合的手段得到的。

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