Page 106 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

第七章 波函数和波动方程

一、薛定谔波动方程
普朗克提出“量子论”假设在辐射的波动能量上加上了“粒子性”，德布罗意提出“物
质波”理论在粒子的运动能量上加上了“波动性”，从而使电磁波和微观粒子都具有了“波

-粒二象性”，这样就需要建立一个描述物质波或德布罗意波的波动方程。1925 年在瑞士，
德拜（P.J.Debye）让他的学生薛定谔作一个关于德布罗意波的学术报告。报告后，德拜提
醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程。”经过几个月的努力，1926 年初薛定谔发表
了他的非相对论形式的研究结果，提出了著名的薛定谔波动方程，创立了波动力学。下面简
述薛定谔建立他的波动方程的过程。
薛定谔注意到德布罗意波的相速度与群速度的区别，他发现德布罗意波的相速度为
E
u  （7.1）
2 m E  U 

这里的 u 代表德布罗意波的相速度，m 为粒子的质量，E 为粒子的总能量，U=U(x,y,z)为粒
子在给定的保守场中的势能。上式与德布罗意假设（6.2）式和（6.3）式是相符的。因为，
由德布罗意关系式可得，u=λν=E/p，在非相对论情况下，p = 2 mE = 2 m E  U  ，于是
k
就有了（7.1）式。对于德布罗意波，薛定谔假设其波函数 (x,y,z,t)通过一个振动因子

e i  t   e 2 i t  e 2 iEt h /  e  iEt/ 
和时间 t 有关，于是有
  yx ,, z,  t    yx ,,  z e  iEt/  （7.2）

其中  yx ,,  z 可以是空间坐标的复函数。先讨论一维情况，即
   tx,     x e  iEt/  （7.3）

将（7.3）式和（7.1）式代入经典波动方程的一般形式
2
2
   1  
x  2 u 2 t  2
整理后可得
 2  2 
  U   E  （7.4）
2 m x  2
由（7.3）式得波函数 的模的平方

 2      ex  iEt/   ex iEt/     x 2

可见模方与时间无关，所以（7.3）式中的波函数 (x)称为粒子的定态波函数，而决定这一
波函数的微分方程（7.4）式称为定态薛定谔方程。这一方程是研究原子系统的定态的基本
方程。

按照玻尔的理论，原子系统可以从一个定态转变到另一个定态，例如氢原子的发光过程。
在这一过程中，原子系统的能量 E 将发生变化。注意到这种随时间变化的情况，薛定谔认
为这时 E 不应该出现在他的波动方程中。他于是用（7.3）式来消去（7.4）式中的 E。可将

102