Page 107 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

（7.3）式换写成
   x    tx, e  iEt/ 

将此式回代入（7.4）式，可得
 2  2 
  U   E  （7.5）
2 m x  2

由（7.3）式可以看出
 
i  E 
t 
则（7.5）式可写成
   2  2 
i    U  （7.6）
t  2 m x  2

式中的 U 可以推广为也是时间 t 的函数，此式称为含时薛定谔方程。推广到三维情形，上式
可写成
   2
i    2  U  （7.7）
t  2 m
这个方程称为薛定谔波动方程。这是关于粒子运动的普遍的运动方程，是非相对论量子力学

的基本方程，它描写在势场 U 中粒子状态随时间的变化。
波函数（7.2）式描写具有能量 E 及动量 p 的粒子的德布罗意波，这个波函数可写成以
下形式
i  rp  Et 
   t r, Ae  i k r   t  Ae 

由上式可以看出
 
i  E 
t 
 i    p  ，   2  2   p 2 

粒子能量 E 及动量 p 各与下列作用在波函数上的算符相当：

E  i ， p  i  （7.8）
t 
这两个算符分别称为能量算符和动量算符。
薛定谔波动方程（7.7）式推广到一般的量子力学体系，可表示成
 
i  H  （7.9）
t 

式中 H 为体系的哈密顿量算符。经典粒子的哈密顿量
p 2
H   U （7.10）
2 m
对于上式作替换（7.8）式，再代入到（7.9）式，即可得到薛定谔方程（7.7）式。

薛定谔提出他的波动方程后，马上将其应用于氢原子体系，通过求解氢原子的薛定谔方
程得出了氢原子的能级与波函数，对氢原子的光谱线规律及其它一些重要特征给予了定量的
说明，从而使玻尔提出的轨道“量子化”从物理假设变为理论演绎的必然结果。
然而，关于方程中的波函数的物理意义却引发了争论。薛定谔以波函数作为讨论对象，

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