Page 112 - 物质的绝对运动——相对论和量子力学的物理起源

  2
H ( )    2  g  2  U   r （7.40）
2 m E

等号右边第一项为动能算符，第二项为静能算符，第三项为势能算符。静能算符是一个非线
 
性算符，所以，新的哈密顿算符 H ( )是一个非线性算符。用算符 H ( )作用于物质波函
数 (r,t)，可得到一个波动方程
   2 2
i    2   g    U   r （7.41）
t  2 m E

这是一个非线性波动方程。等号右边第一项为动能项，第二项为静能项（非线性项），第三
项为势能项。
这个方程与 Gross 和 Pitaevskii 等人提出的液态氦的波动方程相似，他们在研究液态氦
的超流性时得出了描述量子流体或玻色-爱因斯坦凝聚状态的波函数 所满足的方程

   2 2
i    2   g   V  r （7.42）
t  2 m
这就是著名的 GP 方程，它是一个标准的非线性薛定谔方程，具有孤子解。上式中 m 为氦
2
原子的质量，V 为势能，g 是非线性作用系数，| | 为氦原子密度。液态氦在 2.17K 时发生
相变，表现为无粘滞的超流特征，一般认为，这种超流性是由于基态氦原子的非线性自相互
作用的结果。根据（7.41）式和（7.42）式的相似性可以推测，方程（7.41）式也具有孤子
解。由此，我们可以把电磁波样物质和量子流体进行类比：在粒子内禀空间连续分布的电磁
波样物质可视为具有超流性的超流体，这种超流体物质通过非线性自相互作用“自陷”为局
域的不弥散的物质波包（粒子），物质波就是超流体物质在复空间的无粘滞流动所产生的物
质空间分布的周期性变化。

由此可以认为，在非相对论情形下，方程（7.41）是粒子的物质波函数 (r,t)所满足的
非线性波动方程，可有孤子解。这个孤子解对应于电磁波样物质的束缚态。如果不考虑非线
性静能项，（7.41）式可写成
   2
i    2   U   r （7.43）
t  2 m
这个方程与薛定谔方程相似，是线性波动方程，只有平面波解。光子等线性粒子的静能项为

零，故可用上式描写。
自由粒子的势能项为零，其物质波的波动方程为
   2 2
i    2   g   （7.44）
t  2m E
当自由粒子静止时，动能项和势能项均为零，其物质波的波动方程应为
  2
i  g   （7.45）
t  E

方程（7.44）式和（7.45）式均包含非线性项，故应有孤子解。
显而易见，方程（7.41）式不满足相对论不变性要求。在量子力学中，满足相对论不变
性要求的波动方程主要有克莱因-戈登（Klein-Gorden）方程
 2 
2
  2   2 c  2   m 2 c 4   U   r （7.46）
t  2 0

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