Page 204 - 小学数学核心素养培育

第八章 模型思想的建构方法

（一）问题分析与变量确定
“租车方案”问题的起点是对具体情境的深入分析和核心变量的准确确定。
例如，一个典型的问题情境是：学校组织四年级 200 名师生去秋游，有两种车型

可供选择：大客车每辆限乘40人，租金800元；小客车每辆限乘25人，租金550元。
要求每位师生都有座位，如何租车最省钱？
在分析这个问题时，学生需要首先识别出问题中的关键信息和约束条件。关
键信息包括总人数（200 人）、两种车型的载客量（40 人 / 辆和 25 人 / 辆）以及

各自的租金（800 元 / 辆和 550 元 / 辆）。约束条件是“每位师生都有座位”，
这意味着所有租用车辆的总载客量必须大于或等于 200 人。问题的最终目标是“最
省钱”，即寻求总租金的最小值。在这个过程中，学生需要明确，影响最终租金
的核心变量是两种车型的数量。因此，可以确定本题的两个核心变量：所需大客

车的数量和所需小客车的数量。将实际问题中的次要因素（如车辆舒适度、行驶
时间等）剥离，抓住主要矛盾（人数和成本），是建立优化模型的第一步，也是
模型思想中“简化”与“抽象”的直接体现。
（二）建立函数模型或不等式模型

在确定了变量之后，下一步就是运用数学语言来描述变量之间的关系，即建
立数学模型。对于“租车方案”这类问题，可以根据学生的认知水平，引导他们
建立不同层次的数学模型，如表格模型、不等式模型或初步的函数模型。
对于中年级的学生，最直观的模型是表格。学生可以系统地枚举各种可能的

租车组合。例如，完全不租小客车，需要多少辆大客车？（200 ÷ 40 = 5 辆，租
金5 × 800 = 4000元）。如果租1辆小客车，剩下的人数需要几辆大客车？（(200-25)
÷ 40 = 4.375，即需要5辆大客车）。学生可以通过不断尝试，将所有可行的方案（即
总载客量刚好满足或略超过 200 人）一一列出，并计算每种方案的租金，最后通

过比较找到最小值。这个列表本身就是一个离散的、枚举式的数学模型，它将所
有可能性清晰地呈现出来，便于分析和决策。
对于高年级的学生，可以引导他们建立更为抽象的不等式模型或函数模型。
设租用大客车 x 辆，小客车 y 辆。根据“每位师生都有座位”的约束条件，可以

建立不等式：$40x + 25y \ge 200$。这是一个二元一次不等式，表示了所有可行
方案的集合。而我们的目标是让总租金 Z 最小，总租金可以表示为 $Z = 800x +
550y$。这个问题就转化为在线性约束条件 $40x + 25y \ge 200$ 下，寻求目标函

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