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第七章 高校学生数学思维能力培养
3. 善于发挥数学的直觉思维
波利亚在其著作《数学与似真推理》中提出：”还必须学习合情推理，即数
学猜想。数学猜想是一种直觉思维，利用它不仅可以预测解决现有问题的思路，
还可以提出有价值的新问题。”数学直觉即关于数学对象的关系和性质的直接领
悟。法国数学家亨利庞加莱说过：“这种对数学秩序的直觉，能使我们去推测隐
蔽着的各种和谐性与联系，但它并不是每个人都具备的，而必须靠人们自觉地培
养 . 锻炼和提高。”
以直觉在数学发现中的作用而论，又可以将直觉思维划分为辨认直觉、联络
直觉和审美直觉三种类型。辨认直觉可以辨明和预测数学猜想是否具有科学价值；
联络直觉可以探究和考察不同理论、不同猜想之间的内在联系；审美直觉可以审
查和评论数学猜想是否符合数学理论的美学标准。在科学研究和日常学习中，学
生对理论发展的方向往往会有多种猜想，对解决问题的思路也会有多种猜想，究
竟何去何从，必须要求助辨认直觉和审美直觉。庞加莱认为直觉思维是一种无意
识活动。然而，在诸多无意识活动的分化组合之中，有些意识是和谐、美妙而有
用的。这些意识如果能触动数学家的审美直觉，即可立刻转变为数学家的有意识
行为。
4. 能正确理解“数学的本质就在于它的自由”
德国数学家格奥尔格 . 康托尔曾经提出“数学的本质就在于它的自由”。他
认为数学与其他领域的区别，就在于它可以自由地创造自己的概念，也就是说数
学想象可以自由自在地发挥。例如，要想在欧氏几何中建立起非欧几何的模型，
这确实是难以想象的。但是克莱因、庞加莱和贝尔特拉米等数学家，利用数学想
象的自由发展，巧妙地做了一些约定，结果就把非欧几何中那些看起来格格不人
的空间关系，转换成了欧氏几何中的普通定理，并且也因此完成了对非欧几何理
论相对相容性的证明。
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