Page 54 - 浙江专升本考前六套卷——高等数学

升本老姜

【解析】设 A 点坐标为 ( yx , ) ，则  xy ( )  x y( t) dt ， y  (x )  y (x ) ，得微分方程  y  y  0 ，于是得通解
 0
a 1 ae 2 x

x
x
x

x
y  ae  be ，将 P 0( ) 1 , 代入后有 y  1(  a) e  x  ae ，对等式求导 y  a (  e ) 1  x  ae  ，
e x
1 e 2 x  e x 2e
再将 x 1代入，解出 a  ，所以 y  ，又  y ) 1 (  0 ，故有极小值 (y ) 1  ．
1 e 2 1 e 2 1 e 2
 1 2
 x , 0  x 1
25．【答案】 (xF )   2
2x  1 x 2  ,1 1  x  2
 2
【解析】当 0  x  1时， (xF )  0  x f (t )dt  0  x tdt  x 2 2 ；

当1 x  2 时， (xF )  0  x f (t )dt  0  1 tdt  1  x 2 (  t )dt  2 x 1 x 2  1，
2

 1 2
 x , 0  x 1
综上 (xF )   2 ．
2x  1 x 2  ,1 1  x  2
 2

26．【证明】（1）令 (xF )  e x f (x ) ，于是有 (F ) 0  F ) 1 (  0 ，易知 (xF ) 在  1,0 上连续， ,0( ) 1 内可导，由

罗尔定理可知，存在  ) 1 , 0 ( ，使得  f  f   0 ；

（2）．令 (xG )  e  x  (xf )  f  (x  ) ，由（1）知   0G ，即   GG  ) 0 (  0 又 (xG ) 在  1,0 上连续， ,0( ) 1

内可导，由罗尔定理可知，存在    1,0 ，使得    f   ．


f

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